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Negative Zinsen und eine Zinsuntergrenze

Lange Zeit galten negative Zinsen als unrealistisch. Mittlerweile sind sowohl für Staatsanleihen wie Deutsche Bundesanleihen als auch für Zins-Swaps die Zinssätze selbst für Laufzeiten von mehreren Jahren negativ, in der Schweiz teilweise bis 30 Jahre (zum Zeitpunkt des Schreibens).

Damit ist die Zinsuntergrenze von Null hinfällig und es stellt sich die Frage, ob es überhaupt eine Zinsuntergrenze gibt oder ob nicht Zinsen vielmehr beliebig niedrig werden können.

Wir verwenden im Folgenden als Zinssätze, soweit nicht anders angegeben, annualisierte Spot-Zinssätze. Wenn also der 10-Jahres-Zins 5% beträgt, so beträgt die Rückzahlung für eine heute investierte Geldeinheit in 10 Jahren $1,05^{10} \approx 1,63$.

Zunächst kann als sicher gelten, dass der Zinssatz nicht auf -100% fallen kann, denn dies würde den Totalverlust der Anlage bedeuten. (Manche Modelle, insbesondere die sogenannten Gaussian-Libor-Market-Modelle, sehen diese Möglichkeit – mit verschwindend geringer Wahrscheinlichkeit – vor.)

Ist es sinnvoll, eine weitere Schranke anzunehmen und wenn ja, wie sollte sie bestimmt werden?

Neben der Möglichkeit, keine Schranke anzunehmen (und z.B. ein Hull-White-Modell zu benutzen), gibt es zwei übliche Methoden, eine Schranke zu bestimmen, nämlich einerseits durch Extrapolation von Beobachtungen und andererseits durch grundsätzliche (extrinsische) Überlegungen, wann ein Zins nicht mehr sinnvoll vorstellbar ist.

Extrapolation von Volatilitäts-Beobachtungen zur Bestimmung der unteren Schranke

Die Methode

Die Extrapolation von Beobachtungen zur Abhängigkeit von Zinsniveau und Volatilität wird als vermeintlich objektives Verfahren gern zur Ermittlung einer unteren Schranke verwendet. Interessanterweise ist das Verfahren älter als sein Zweck: Bevor man anfing, gezielt beeinflussen zu wollen, wie stark negativ Zinsen werden können, wurde das Verfahren benutzt, um die Abhängigkeit der Volatilität vom Zinsniveau (vornehm: die Elastizität der Volatilität) zu modellieren.¹ In diesem Kontext waren negative Zinsen ein hinzunehmender Nebeneffekt, der es ermöglichte, komplexere Modelle durch einfachere, oft analytisch besser handhabbare Modelle zu approximieren.

Modellseitig benötigt man zwei Zutaten:

• Ein Zinsmodell, das in seiner Basis-Version eine Zinsuntergrenze hat. Zwei der prominentesten Vertreter sind das Cox-Ingersoll-Ross- (CIR-) Modell, in dem die Short-Rate nicht negativ wird, und das Libor-Market-Modell (LMM), in dem Forward-Sätze lognormalverteilt und somit positiv sind.

• Eine Methode, die Zinsuntergrenze zu beeinflussen. Die Verschiebung (Shifting) von Zinsen ist relativ bekannt (genauer eine multiplikative Anpassung der Bond-Preise, bei der der Anpassungsfaktor geeignet von der Zeit und Laufzeit abhängt, aber nicht vom simulierten Pfad). Diese führt für obige Modelle auf das CIR++-Modell und das displaced LMM und ist im Hull-White-Modell zu einer Änderung des Mean-Reversion-Parameters äquivalent². Ich habe die Methode als Grundlage eines Szenarioshift-Programms kennengelernt, das zur Transformation von Szenariosets für Zins-Sensitivitäten benutzt wurde.

Ein Modell, das eine Zinsuntergrenze³ hat, besitzt eine nichtkonstante Abhängigkeit der Volatilität vom Zinsniveau. Beim CIR-Modell ist diese für die Shortrate $r$ durch $dr = ... + \sigma \sqrt(r) dW$ als $r^{1/2}$ gegeben⁴, beim LMM-Modell für eine Forward-Rate $F$ durch $dF = ... + \sigma F dW$ als $F^1$ . Wird das Modell um $x$ verschoben, werden diese Abhängigkeiten zu $(r+x)^{1/2}$ bzw. $(F+x)^1$. (Hier wird auch deutlich, warum das Hull-White-Modell durch den Shift nur eine Parameteränderung erfährt: bei ihm ist die Volatilität unabhängig vom Zinsniveau).

Mit dieser Volatilitätswirkung des Shifts kann nun auf Basis von gemeinsamen Beobachtungen von Zinsniveau und -volatilität (als historische Volatilität beobachteter Änderungen oder als implizite Volatilität von Caps oder Swaptions o.ä.) derjenige Shiftparameter x gesucht werden, der Modell und Beobachtung besonders gut in Einklang bringt. Aus dem Modellierungsproblem ist ein Schätzproblem geworden.

Kritische Würdigung der Extrapolation

Eine theoretische Überlegung und zwei Beobachtungen lassen Zweifel an der Methode aufkommen.

Für mich als Modellierer mit gewisser physikalischer Vorprägung bietet sich der Blick auf die Physik an. Wenn unsere Modelle wie die oben oft genug von Brownschen Bewegungen angetrieben sind, was wäre das Äquivalent unserer Fragestellung für das Brownsche Experiment? Abbildung 1 zeigt einen beobachteten Pfad eines Clarkienpollenkorns. Die Grenze ist der Rand des Gefäßes in dem es auf dem Wasser treibt. Der Schluss von der Beobachtung auf die Form des Gefäßes oder mindestens die Entfernung vom Rand scheint mindestens wagemutig, wenn nicht absurd.

So sehr verlockend es für einen Aktuar ist, aus Daten zu schließen, zeigt die physikalische Analogie recht deutlich, dass es hier nicht adäquat ist – zumal anders als beim echten Brownschen Experiment⁵ vermutlich kein Zinsmodell für sich in Anspruch nehmen kann, die Dynamik treffend darzustellen. Der ernste Kern des angerissenen Problems: Man versucht von einem sehr lokalen Verhalten - der Volatilität - auf eine globale Eigenschaft - den Wertebereich - zu schließen. Das schlägt fehlt.

An der Grenze zwischen Theorie und Praxis bewegt sich die erste Beobachtung: Bei den verschiedenen Versuchen, die eine Untergrenze mit dieser Methode zu bestimmen, ergeben sich erheblich unterschiedliche Ergebnisse. Andrew Smith⁶ berechnete eine Verschiebung – und damit eine untere Schranke – von 3,48% aus britischen Staatsanleihen (und weist aber darauf hin, dass die Modellierung gegebenenfalls zu kurz greift). Auch sonst scheint 3%-10% ein üblicher Bereich zu sein, wenn auf historische Volatilitäten abgestellt wird. Für risikoneutrale Modelle – für die dieselbe Untergrenze gelten müsste – werden aber weit größere Verschiebungen bis über 40% aufgerufen.⁷ Es gelingt offenbar nicht, hier eine Konsistenz zu erzielen.

Einen ähnlichen Hintergrund hat die dritte Beobachtung. Die DAV unternimmt seit 31.12.2015 quartalsweise eine Kalibrierung eines Einfaktor-Hull-White-Modells mit der Swapkurve und einer Swaption-Volatilität⁸. Dabei wird die Mean-Reversion-Geschwindigkeit konstant (bei 0.1) gelassen. Die drei bisher ermittelten Volatilitätsparameter waren 1,71% für den 31.12.2015 und 1,73% sowohl für den 31.03.2016 als auch den 30.06.2016. Eine solche – kaum wahrnehmbare – Änderung der Volatilität während sich der 10-Jahres-Spot-Zins von 1,02% am 31.12.2015 über 0,56% am 31.03.2016 auf 0,42% am 30.06.2016 verringert hat, spricht gegen eine positive Zinselastizität in diesem Bereich und damit – wenn man die beschriebene Extrapolation als Methode akzeptiert – gegen eine untere Schranke.

Ebenso wie die Volatilitätsextrapolation nicht für die Bestimmung der unteren Zinsschranke geeignet ist, ist übrigens mehr als zweifelhaft, in wie weit die Modelle, die eine parametrisierbare untere Schranke zur Kontrolle der Volatilität eingeführt haben, eine gute Lösung der Modellierungsaufgabe sind. Das verschobene Libor-Market-Modell kann beispielsweise explizit als eine Approximation von CEV-Modellen in Bezug auf das Volatilitätsverhalten interpretiert werden und gibt in kurzfristigen Projektionen, in denen sich der Zins nur wenig von der Start-Kurve entfernt, auch valide Ergebnisse. Aber der Preis ist eben gerade, dass die Zinsen nicht auf den Bereich beschränkt sind, den man für Plausibel hält (ursprünglich positive Zinsen), sondern dehnt sich weiter in den negativen Bereich aus. So kommt die oben erwähnte -40%-Untergrenze ins Spiel. Davon abgesehen ist die vorgenommene Approximation lokaler Natur (d.h. sie gilt in der Nähe des Zins-Niveaus zum Start) und die Verwendung für langfristige Projektionen, in denen der Zins sich stärker vom Startniveau entfernt, weniger naheliegend.

Extrinsische Überlegungen zur Zinsschranke

Wenn die empirische Ableitung durch Extrapolation also zweifelhaft ist, versuchen wir eine a priori Bestimmung.

Machen wir ein also Gedankenexperiment: Ist ein 10-Jahres-Zinssatz von -5% realistisch? Eine investierte Geldeinheit würde sich in 10 Jahren zu 0,60 entwickeln.

Die offensichtliche Frage ist, ob ein Investor zu einem solchen Zins Anleihen kaufen würde. Das hängt – wie so viele Entscheidungen – von den Alternativen ab. Und so stellt die häufigste Antwort darauf ab, dass Bargeld offenbar nicht verzinst wird, aber bei Kauf und Verkauf sowie für die Lagerung Kosten verursacht. Solche Bemühungen in der Schweiz schafften es bis in deutsche Zeitungen⁹. In der Schweiz ist man nicht nur bei Negativzinsen weiter, sondern auch bei der Bezifferung der Kosten, diese durch Bargeld zu umgehen: Die Neue Züricher Zeitung zitiert eine Studie, die Negative Zinsen bis -2% für möglich hält¹⁰. Die Kosten für die Lagerung von Bargeld werden dort - bei Gold sind sie niedriger - mit 1,5%-2% angegeben. Hinzu kommen die Kosten für Abheben und Wiedereinzahlen - bei Gold 0,5%. Wir könnten ja mal 1% ansetzen. Dann wäre die Untergrenze für einjährige Zinsen bei 3%, die 10-Jährige näher bei 2%, weil die Einmalkosten auf 10 Jahre umgelegt werden.

Die Schweiz als Vorreiter der Negativzinsen

Damit wäre die Theorie gemacht. Es bleibt aber die Probe aufs Exempel. Schon im März 2015 berichtete das Schweizer Fernsehen davon, dass eine Bank einer Pensionskasse die Bargeldauszahlung verweigert¹¹. Die Schweizer Nationalbank empfehle, restriktive mit Bargeldnachfragen umzugehen. Nun liegt die Zulässigkeit von Negativzinsen bei den Juristen¹², wie auch in Deutschland ist zu klären, inwieweit gesetzliche Regelungen und Verträge, die einen Zins vorsehen, auch Negativzinsen zulassen.

Die Europäische Zentralbank und die untere Zinsschranke

Also keine Erkenntnisse? Nicht ganz. Nehmen wir an, die Zinsen werden so negativ, wie die Notenbank es will. Dann gibt es eine etwas subtilere Schwester der obigen Frage nach dem Investor: Wenn die Notenbank die Zinsen gestaltet, welchen Negativzins sieht sie als akzeptabel an? Bei der europäischen Zentralbank hat Direktor Benoît Cœuré den Spielraum für Negativzinsen kürzlich in einer Rede ausgelotet¹³.

Dabei hat er zwei Untergrenzen vorgestellt: Nicht nur erkennt er die durch Bargeldhaltung gegebene physische Untergrenze an, sondern nimmt auch eine - bei ihm oberhalb der physischen Schranke liegenden - ökonomische Untergrenze, die reversal rate, ein. Deren Existenz wird von Brunnermeier und Koby¹⁴ nachgewiesen. Sie modellieren dazu vereinfachte Bilanzen von Banken und unterstellen, dass das Ziel der Zentralbank bei Zinssenkungen ein ökonomischer Stimulus durch Ausweitung der Kreditvergabe durch Banken ist. Während normalerweise die Bank nach einer Zinssenkung ihre Kreditvergabe ausweitet, um ihren Gewinn zu maximieren, ergibt das Zusammenspiel von Nachfrage, regulatorischer Kapitalanforderung und Gewinnmaximierung einen Zinssatz, bei dessen Unterschreitung es für die Bank günstiger ist, die Kreditvergabe zu beschränken. Unterhalb der reversal Rate kehrt sich also die Wirkung einer Zinssenkung auf die Kreditvergabe um und würde damit das Ziel der Zentralbank konterkarieren. Diese würde, so Cœurés Schlussfolgerung, deshalb solche Zinssenkungen nicht vornehmen. Die genaue Höhe der Schranke ist durch die Marktstruktur des Bankensektors, das Kundenverhaltens und die regulatorische Kapitalanforderung bestimmt.

Die reversal Rate mag schwer zu schätzen sein, wir nehmen aber mit, dass - wenn Herr Cœurés Überlegungen für seinen Arbeitgeber repräsentativ sind - die EZB davon ausgeht, dass Zinsen nicht beliebig tief sinken können. Aus der Schweiz gibt es mittlerweile weitere Indizien, dass eine Verlagerung in die Bargeldhaltung erfolgt: Die Versicherer melden eine erhöhte Nachfrage nach Bargeldversicherungen¹⁵.

Beispielhafte Berechnung einer unteren Zinsschranke

Machen wir zum Schluss eine Beispielrechnung für die durch Bargeld gegebene Zinsschranke in Abhängigkeit der Lagerungskosten. Angenommen, Lagerung von Bargeld kostet 80bps pro Jahr, also zum Beispiel 8000 EUR pro Million EUR, und der Umtausch ins Bargeld sowie die Einzahlung aufs Konto kosten je 1 Prozent. Dann wäre die Zinsuntergrenze für kurzfristige Anlagen von einem halben Jahr Laufzeit stattliche -4.71%¹⁶, für ein Jahr -2.77%, für fünf -1.20%, für zehn Jahre -1%, für zwanzig -0.9% und für dreißig Jahre -0.87%. Die Tabelle und Abbildung zeigen die Berechnung für verschiedene Lagerungskosten.

Lagerungskosten p.a.	1/2 Jahr	1 Jahr	5 Jahre	10 Jahre	20 Jahre	30 Jahre
0.60%	-4.52%	-2.58%	-1.00%	-0.80%	-0.70%	-0.67%
0.80%	-4.71%	-2.77%	-1.20%	-1.00%	-0.90%	-0.87%
1.00%	-4.90%	-2.97%	-1.40%	-1.20%	-1.10%	-1.07%
1.20%	-5.09%	-3.17%	-1.60%	-1.40%	-1.30%	-1.27%
1.40%	-5.29%	-3.36%	-1.80%	-1.60%	-1.50%	-1.47%

Für die hier betrachteten Größenordnungen ist also ab einer Laufzeit von fünf Jahren die Formel Lagerungskosten zuzüglich Umtauschgebühren geteilt durch Jahre bis auf den Basispunkt genau.

Fazit

Es scheint, als gäbe es eine untere Schranke und vermutlich ist die überschlagsmäßige Berechnung der Kosten einer Bargeldhaltung ein Indikator für Ihre Höhe.

Was wir auch gesehen haben, ist, dass die unteren Zinsschranken der üblichen Modelle eher wenig mit den unteren Zinsschranken, die aus ökonomischen Überlegungen folgen, zu tun haben. In einem der nächsten Beiträge werden wir diesen Zusammenhang näher beleuchten, sehen, was schief geht und die Möglichkeiten einer gezielten Modellierung der unteren Zinsschranke ausloten.